Un treno corre su un binario rettilineo alla velocità costante (rispetto al terreno) di 95 km/h. All’interno di una carrozza cade (da fermo) un pacchetto che si trovava all’altezza di 2.20 m.

Qual è, nello stesso istante, il modulo della velocità del pacchetto rispetto al terreno?

$v_t = 95 km/h = 26.39 m/s$
$h = 2.20 m $
\begin{equation}
v_x(t) = v_t
\end{equation}
\begin{equation}
y(t) = h – \frac{1}{2} g \cdot t^2
\end{equation}
\begin{equation}
0 = 2.20 m -\frac{1}{2} 9.8 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot t_f^2 \Rightarrow t_f = \sqrt{\frac{2\cdot 2.20 m}{9.8 \cdot \frac{m}{s^2}}} = 0.67 s
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d}{dt}[y(t)] = v_y(t) = -g \cdot t
\end{equation}
\begin{equation}
v_y(t_f) = -9.8 \cdot \frac{m}{s^2} \cdot 0.67 s = -6.6 m/s
\end{equation}
chiamo V la velocità del pacchetto rispetto il suolo
\begin{equation}
V = \sqrt{v_y(t_f)^2+v_x^2} = 27 m/s
\end{equation}

Utilizzando le scale mobili in un centro commerciale, un bambino, rimanendo fermo su un gradino, impiega 25s a salire al primo piano. Poi torna indietro e sale utilizzando le scale alla velocità media di valore V impiegando 40s.

Quanto tempo avrebbe impiegato ad arrivare al primo piano se avesse camminato sulle scale mobili alla velocità V?

Chiamo $v_2$ la velocità del bambino se avesse camminato sulle scale mobili. Secondo la legge della relatività galileiana:

\begin{equation}
v_2 = V + v
\end{equation}

Dove $V$ è la velocità del bambino e $v$ è la velocità delle scale mobili.

Ammettiamo che il bambino percorra un tratto di strada $x$

\begin{equation}
v = \frac{x}{\Delta t_1} = \frac{x}{40 s}
\end{equation}
\begin{equation}
V = \frac{x}{\Delta t_2} = \frac{x}{25 s}
\end{equation}
\begin{equation}
v_2 = V + v = \frac{x}{40 s} + \frac{x}{25 s} = \frac{13x}{200}
\end{equation}
scrivo la legge del moto
\begin{equation}
x(t) = v_2 \cdot t
\end{equation}
\begin{equation}
\Rightarrow x = \frac{13x}{200} \cdot t \Rightarrow t_f = \frac{200s}{13} = 15 s
\end{equation}

Un giocoliere lancia una pallina verso l’alto, con una velocità iniziale pari a 4.0 m/s

Che altezza raggiunge la pallina, rispetto alla quota iniziale?

$v_0 = 4 m/s$
\begin{equation}
y(t) = v_0\cdot t – \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d}{dt}[y(t)] = v_y(t) = v_0 -g \cdot t
\end{equation}
impongo che la velocità sia 0 (la pallina si ferma nel punto di altezza massima).
\begin{equation}
v_y(t_f) = 0 \Rightarrow t_f = \frac{vo}{g} = 0.41 s
\end{equation}
Sostituisco l’istante di tempo trovato nella legge oraria
\begin{equation}
y(t_f) = v_0\cdot t_f – \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_f^2 = 0.82 m
\end{equation}

Un camion passa davanti a un autogrill alla velocità costante di 100 km/h. Dopo 3.0 min, un’automobile in moto a 130 km/h passa davanti allo stesso autogrill.

Scrivi le leggi del moto per entrambi i veicoli.

Fisso un sistema di riferimento cartesiano avente come origine l’autogrill.

$v_1 = 100 km/h= 27.8 m/s$
$v_2 = 130 km/h = 36.11 m/s$
$\Delta t = 3 min = 180 s$
\begin{equation}
s_2(t) = v_2\cdot t
\end{equation}
calcolo lo spazio percorso dal camion nel tempo impiegato dall’automobile a raggiungere lo 0 del nostro sistema di riferimento .
\begin{equation}
s_0 = \Delta t \cdot v_1 = 5.0 \cdot 10^3 m
\end{equation}
\begin{equation}
s_1(t) = s_0 + v_1 \cdot t
\end{equation}

Dopo quanto tempo si incontrano rispetto al passaggio dell’auto?

eguaglio le due leggi orarie per trovare l’istante di incontro ($t_f$).
\begin{equation}
s_1(t_f) = s_2(t_f) \Rightarrow s_0 + v_1 \cdot t_f = v_2\cdot t_f \Rightarrow t_f = \frac{s_0}{v_2-v_1} =601.7 s = 10 min
\end{equation}

Quanti kilometri hanno percorso rispetto all’autogrill quando si incontrano?

\begin{equation}
s_1(t_f) = s_0 + v_1 \cdot t_f = 2.18 \cdot 10^4 m = 22km
\end{equation}